El interés de Pitágoras por los números cuadrados le llevó a estudiar los triángulos rectángulos, es decir, los triángulos que tienen un ángulo recto. Un ángulo recto está formado por dos lados perpendiculares, lo que quiere decir que si colocamos uno de ellos en posición perfectamente horizontal, el otro quedará perfectamente vertical. El triángulo rectángulo queda formado al añadir un tercer lado que va desde el extremo de uno de los lados del ángulo recto hasta el extremo del otro. Este tercer lado, llamado «hipotenusa», es siempre más largo que cualquiera de los otros dos, que se llaman «catetos». Imaginemos que Pitágoras trazase un triángulo rectángulo al azar y midiese la longitud de los lados. Dividiendo uno de ellos en un número entero de unidades, lo normal es que los otros dos no contuvieran un número entero de las mismas unidades. Pero había excepciones. Volvamos a imaginarnos a Pitágoras ante un triángulo cuyos catetos midiesen exactamente tres y cuatro unidades, respectivamente. La hipotenusa tendría entonces exactamente cinco unidades. Los números 3, 4 y 5 ¿por qué formaban un triángulo rectángulo? Los números 1, 2 y 3 no lo formaban, ni tampoco los números 2, 3 y 4; de hecho, casi ningún trío de números elegidos al azar. Supongamos ahora que Pitágoras se fijara en los cuadrados de los números: en lugar de 3, 4 y 5 tendría ahora 9, 16 y 25. Pues bien, lo interesante es que 9+16=25. La suma de los cuadrados de los catetos de este triángulo rectángulo resultaba ser igual al cuadrado de la hipotenusa. Pitágoras fue más lejos y observó que la diferencia entre dos números cuadrados sucesivos era siempre un número impar: 4-1 = 3; 9-4 = 5; 16-9 = 7; 25 - 16 = 9; etc. Cada cierto tiempo, esta diferencia impar era a su vez un cuadrado, como en 25— 16 = 9 (que es lo mismo que 9 + 16 = 25). Cuando ocurría esto, volvía a ser posible construir un triángulo rectángulo con números enteros. Puede ser, por ejemplo, que Pitágoras restase 144 de 169, que son dos cuadrados sucesivos: 169 — 144 = 25. Las raíces cuadradas de estos números resultan ser 13, 12 y 5, porque 169 = 13 X 13; 144 = 12 X 12 y 25 = 5 X 5. Por consiguiente, se podía formar un triángulo rectángulo con catetos de cinco y doce unidades, respectivamente, e hipotenusa de trece unidades.


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